Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

El ${}^{18}\text{F}$ es un isótopo radiactivo muy utilizado como radiofármaco en la Tomografía por Emisión de Positrones. Se desintegra con un periodo de semidesintegración de 110 minutos. Si se tiene una muestra de 12 g determine:

a) la constante de desintegración de este radionúclido. [1 punto]

b) la cantidad de ${}^{18}\text{F}$ que quedará al cabo de 3 horas. [1 punto]

$\textbf{a) la constante de desintegración de este radionúclido. [1 punto]}$










El periodo de semidesintegración y la constante de desintegración están ligados por la ley de desintegración: al cabo de un periodo queda la mitad de los núcleos.

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$





Se despeja la constante y se sustituye:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{110}=6{,}30\cdot10^{-3}\ \text{min}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional, dividiendo entre los 60 segundos que tiene un minuto:

$\lambda=\dfrac{6{,}30\cdot10^{-3}}{60}=1{,}05\cdot10^{-4}\ \text{s}^{-1}$

La constante de desintegración del flúor-18 vale $1{,}05\cdot10^{-4}\ \text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) la cantidad de } \boldsymbol{{}^{18}\text{F}}\textbf{ que quedará al cabo de 3 horas. [1 punto]}$

La masa que queda sin desintegrar sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos, ya que ambos son proporcionales:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}$

Se expresa el tiempo en minutos, para que sea coherente con la constante calculada en $\text{min}^{-1}$:

$t=3\ \text{h}=180\ \text{min}$

$m=12\cdot e^{-6{,}30\cdot10^{-3}\cdot180}=12\cdot e^{-1{,}134}$

$m=12\cdot0{,}322=3{,}86\ \text{g}$

Al cabo de tres horas quedan $3{,}86\ \text{g}$ de flúor-18.

El resultado es coherente con el periodo: 180 minutos son algo más de un periodo y medio de semidesintegración, de modo que debía quedar algo menos de la tercera parte de la muestra inicial. Ese periodo tan corto es justamente lo que hace útil al flúor-18 en medicina, porque el paciente deja de estar expuesto en pocas horas, pero obliga a producirlo en un ciclotrón cercano al hospital.