Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Determine la velocidad inicial a la que hay que lanzar un cohete verticalmente, desde la superficie de la Tierra, para que ascienda a una altura de 900 km. [2 puntos]

Datos: constante de gravitación universal $(G) = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$; masa de la Tierra $(M_T) = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra $(R_T) = 6370\ \text{km}$.

El cohete se lanza desde la superficie y debe llegar a la altura pedida. Como la única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que es conservativa, la energía mecánica se conserva entre los dos puntos:

$E_c(R)+E_p(R)=E_c(r)+E_p(r)$

En el punto más alto de la trayectoria el cohete se detiene, de modo que allí la energía cinética es nula.





Escribiendo cada término:

$\dfrac12\,m\,v_0^2-G\dfrac{M\,m}{R}=0-G\dfrac{M\,m}{R+h}$

Se simplifica la masa del cohete, que no interviene en el resultado:

$\dfrac12\,v_0^2=G\,M\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{R+h}\right)$

$v_0=\sqrt{2\,G\,M\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{R+h}\right)}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R=6370\ \text{km}=6{,}370\cdot10^{6}\ \text{m}$

$h=900\ \text{km}=9\cdot10^{5}\ \text{m}\Rightarrow R+h=7{,}270\cdot10^{6}\ \text{m}$

Y se sustituye:

$v_0=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\left(\dfrac{1}{6{,}370\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{7{,}270\cdot10^{6}}\right)}$

$v_0=\sqrt{1{,}56\cdot10^{7}}=3{,}94\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Hay que lanzar el cohete con una velocidad inicial de $3{,}94\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, es decir, unos $3{,}94\ \text{km/s}$.

El resultado es razonable: queda muy por debajo de la velocidad de escape desde la superficie terrestre, $11{,}2\ \text{km/s}$, como debe ser, porque el cohete no escapa del campo sino que solo alcanza una altura finita.