Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2022

Indica la relación entre energía de un cuerpo, su masa en reposo, y su velocidad, según la Teoría de la Relatividad. [2 puntos]

Según la teoría de la relatividad especial de Einstein, la energía total de un cuerpo libre depende de su masa en reposo y de su velocidad a través del factor de Lorentz:

$E=\gamma\,m_0\,c^2=\dfrac{m_0\,c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Las magnitudes que intervienen son:

$m_0$, la masa en reposo del cuerpo, la que le mide un observador respecto del cual está quieto. Se mide en kilogramos y es una constante del cuerpo, igual para todos los observadores.

$v$, el módulo de la velocidad del cuerpo respecto del observador, en metros por segundo.

$c$, la velocidad de la luz en el vacío, $3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, que es el límite superior de cualquier velocidad.

De esta relación se siguen los resultados característicos de la teoría:

Para un cuerpo en reposo, $v=0$ y $\gamma=1$, con lo que queda la energía en reposo:

$E_0=m_0\,c^2$

Es la famosa equivalencia entre masa y energía: todo cuerpo tiene, por el mero hecho de tener masa, una energía asociada, y es la que se libera en las reacciones nucleares en forma de defecto de masa.

La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=E-E_0=(\gamma-1)\,m_0\,c^2$

que a velocidades pequeñas frente a $c$ se reduce a la expresión clásica $\frac12 m_0v^2$, como debe ser.

Cuando la velocidad se acerca a la de la luz, el radicando tiende a cero, el factor de Lorentz tiende a infinito y la energía necesaria crece sin límite. Esa es la razón física de que ningún cuerpo con masa en reposo pueda alcanzar la velocidad de la luz: haría falta una energía infinita.

Existe además una relación equivalente que liga energía y momento lineal y que vale también para partículas sin masa como el fotón:

$E^2=(p\,c)^2+(m_0\,c^2)^2$