Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Se quiere colocar un satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra de tal manera que tarde 16 h en dar dos vueltas a nuestro planeta. Determine cuál debe ser el radio de la órbita. [2 puntos]

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra $= 5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Y la velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$





Sustituyendo la velocidad en la ecuación anterior y simplificando la masa del satélite:

$G\dfrac{M}{r^2}=\dfrac{1}{r}\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

$G\,M\,T^2=4\pi^2 r^3$

De donde se despeja el radio de la órbita, que es lo que pide el enunciado. Esta expresión no es otra cosa que la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}}$

El satélite debe dar dos vueltas en 16 horas, así que su periodo es:

$T=\dfrac{16}{2}=8\ \text{h}=8\cdot3600=28800\ \text{s}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot28800^2}{4\pi^2}}$

$r=\sqrt[3]{8{,}37\cdot10^{21}}=2{,}03\cdot10^{7}\ \text{m}$

El radio de la órbita debe ser $2{,}03\cdot10^{7}\ \text{m}$, es decir, unos 20300 km medidos desde el centro de la Tierra, lo que corresponde a una altura sobre la superficie de unos 13900 km.