Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

El peso de un objeto en la superficie de la Tierra es de 360 N. Cuando el objeto se encuentre a una altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra determine:

a) la intensidad de campo gravitatorio. [1 punto]

b) dicho peso. [1 punto]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Tierra $=\mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra = 6370 km.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La intensidad del campo gravitatorio terrestre depende solo de la distancia al centro de la Tierra, que es el radio más la altura:

$g=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}r=R+h$





Se expresan las distancias en unidades del Sistema Internacional:

$R=6370\text{ km}=\mathrm{6,370}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h=500\text{ km}=5\cdot {10}^5\text{ m}$

$r=\mathrm{6,370}\cdot {10}^6+5\cdot {10}^5=\mathrm{6,870}\cdot {10}^6\text{ m}$

Y se sustituye:

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,870}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{8,44}{\text{m/s}}^2$

La intensidad del campo gravitatorio a esa altura es $\mathrm{8,44}{\text{m/s}}^2$, algo menor que los $\mathrm{9,82}{\text{m/s}}^2$ de la superficie.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{peso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se necesita la masa del objeto, que se obtiene de su peso en la superficie. Allí la intensidad del campo vale:

$g_0={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,370}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{9,82}{\text{m/s}}^2$

$m={\displaystyle \frac{P_0}{g_0}}={\displaystyle \frac{360}{\mathrm{9,82}}}=\mathrm{36,7}\text{ kg}$

Y el peso a 500 km de altura es el producto de esa masa por la intensidad del campo allí:

$P=mg=\mathrm{36,7}\cdot \mathrm{8,44}=310\text{ N}$

El objeto pesa $310\text{ N}$ a 500 km de altura, un 14 % menos que en la superficie.

El mismo resultado se obtiene sin calcular la masa, comparando los pesos en los dos puntos, ya que ambos son proporcionales a la intensidad del campo:

${\displaystyle \frac{P}{P_0}}={\displaystyle \frac{R^2}{r^2}}\Rightarrow P=360{\left({\displaystyle \frac{6370}{6870}}\right)}^2=310\text{ N}$