Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Principio de Incertidumbre de Heisenberg: enunciado, expresión matemática y significado físico de las magnitudes que en ella intervienen. [2 puntos]

El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que hay parejas de magnitudes, llamadas complementarias, que no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria: cuanto mejor se determina una, peor queda determinada la otra.

Aplicado a la posición y al momento lineal de una partícula, el enunciado es que el producto de las indeterminaciones de ambas magnitudes no puede ser menor que una cantidad del orden de la constante de Planck:

$\Delta x\cdot\Delta p_x\ge\dfrac{h}{4\pi}$

Existe una segunda relación análoga entre la energía de un estado y el tiempo durante el cual la partícula permanece en él:

$\Delta E\cdot\Delta t\ge\dfrac{h}{4\pi}$

El significado físico de las magnitudes que intervienen es el siguiente:

$\Delta x$ es la indeterminación en la posición de la partícula sobre el eje considerado, es decir, la anchura del intervalo dentro del cual está la partícula. Se mide en metros.

$\Delta p_x$ es la indeterminación en la componente del momento lineal sobre ese mismo eje, la del eje en que se mide la posición. Se mide en $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\Delta E$ es la indeterminación en la energía del estado, medida en julios, y $\Delta t$ el tiempo de vida de ese estado, medido en segundos.

$h$ es la constante de Planck, $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, que fija la escala a la que estas limitaciones se vuelven apreciables.

Es esencial entender que el principio no describe una limitación de los aparatos de medida ni un defecto experimental que pudiera corregirse con mejor instrumentación: es una propiedad de la propia naturaleza, consecuencia del carácter ondulatorio de la materia. Localizar mucho una partícula exige superponer ondas de muchas longitudes de onda distintas, y por la relación de De Broglie eso equivale a hacer imprecisa su cantidad de movimiento.

Su consecuencia más conocida es que en física cuántica deja de tener sentido hablar de la trayectoria de una partícula, ya que una trayectoria exigiría conocer a la vez la posición y la velocidad en cada instante. Por eso el modelo de órbitas de Bohr se sustituye por el concepto de orbital, que es una región de probabilidad. El producto $h/4\pi$ es tan pequeño, del orden de $5\cdot10^{-35}\ \text{J}\cdot\text{s}$, que en los objetos cotidianos la restricción resulta por completo inapreciable.