Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Calcule la longitud de la onda de materia asociada a una mota de polvo con masa de $0{,}02\ \mu\text{g}$ que cae al suelo con una velocidad de 2 mm/s. [2 puntos]

Datos: Constante de Planck $(h) = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

Toda partícula material lleva asociada una onda cuya longitud de onda, según la hipótesis de De Broglie, es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

Antes de sustituir se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional. La masa está en microgramos:

$m=0{,}02\ \mu\text{g}=0{,}02\cdot10^{-6}\ \text{g}=0{,}02\cdot10^{-9}\ \text{kg}=2\cdot10^{-11}\ \text{kg}$

Y la velocidad, en milímetros por segundo:

$v=2\ \text{mm/s}=2\cdot10^{-3}\ \text{m/s}$

Se calcula el momento lineal:

$p=m\,v=2\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{-3}=4\cdot10^{-14}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$

Y por último la longitud de onda asociada:

$\lambda=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}}{4\cdot10^{-14}}$

$\lambda=1{,}65\cdot10^{-20}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada a la mota de polvo es de $1{,}65\cdot10^{-20}\ \text{m}$.

Merece la pena comparar ese número con el tamaño de un núcleo atómico, del orden de $10^{-15}\ \text{m}$: la longitud de onda de la mota es cien mil veces menor todavía. Por eso el comportamiento ondulatorio de los objetos macroscópicos es imposible de observar, y solo se manifiesta en partículas de masa muy pequeña como el electrón.