Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

Analizando una muestra radiactiva se comprueba que cuando transcurren 30 días su actividad es una quinta parte de la que tenía al principio.

a) Determina el valor de la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración. [1 punto]

b) Al cabo de esos 30 días se mide la actividad de la muestra y se determina que vale $7{,}88 \cdot 10^{14}$ Bq. ¿Cuántos átomos radiactivos había inicialmente? [1 punto]

$\textbf{a) Determina el valor de la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración. [1 punto]}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente con el tiempo:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

El enunciado dice que a los 30 días la actividad es la quinta parte de la inicial:

$\dfrac{A}{A_0}=\dfrac15$





Se sustituye y se toman logaritmos neperianos:

$\dfrac15=e^{-\lambda\cdot30}\Rightarrow \ln\dfrac15=-30\lambda$

$\lambda=\dfrac{\ln 5}{30}=0{,}0536\ \text{días}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional, dividiendo entre los segundos que tiene un día:

$\lambda=\dfrac{0{,}0536}{86400}=6{,}21\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}693}{0{,}0536}=12{,}9\ \text{días}$

La constante de desintegración vale $6{,}21\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$ y el periodo de semidesintegración, $12{,}9\ \text{días}$.

$\textbf{b) Al cabo de esos 30 días se mide la actividad de la muestra y se determina que vale } \boldsymbol{7{,}88 \cdot 10^{14}}\textbf{ Bq. ¿Cuántos átomos radiactivos había inicialmente? [1 punto]}$

La actividad de una muestra es el número de desintegraciones por segundo, y es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar:

$A=\lambda\,N$

De aquí se obtiene el número de núcleos presentes a los 30 días. Se usa la constante en $\text{s}^{-1}$, porque el becquerel es una desintegración por segundo:

$N=\dfrac{A}{\lambda}=\dfrac{7{,}88\cdot10^{14}}{6{,}21\cdot10^{-7}}=1{,}27\cdot10^{21}\ \text{núcleos}$

Y como en esos 30 días la muestra se ha reducido a la quinta parte, el número inicial era cinco veces mayor:

$N_0=5\,N=5\cdot1{,}27\cdot10^{21}=6{,}35\cdot10^{21}\ \text{núcleos}$

Inicialmente había $6{,}35\cdot10^{21}$ átomos radiactivos, algo menos de una centésima de mol.