Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Sobre una superficie de aluminio incide radiación electromagnética de longitud de onda $200 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$. Sabiendo que el trabajo de extracción del aluminio es 4,2 eV, calcula la energía cinética de los electrones emitidos, el potencial de frenado y la longitud de onda umbral para el aluminio. [2 puntos]

DATOS: $1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$; valor de la velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; constante de Planck: $h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética con que sale el electrón:

$E_{\text{fotón}}=W_0+E_{c,\max}$





Se calcula primero la energía del fotón a partir de su longitud de onda:

$E_{\text{fotón}}=h\,f=h\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{200\cdot10^{-9}}$

$E_{\text{fotón}}=9{,}9\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y se expresa el trabajo de extracción del aluminio en unidades del Sistema Internacional:

$W_0=4{,}2\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}=6{,}72\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía cinética máxima de los electrones emitidos es la diferencia:

$E_{c,\max}=9{,}9\cdot10^{-19}-6{,}72\cdot10^{-19}=3{,}18\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El potencial de frenado es el voltaje que hay que aplicar para detener a esos electrones, de modo que el trabajo eléctrico iguale a su energía cinética:

$e\,V_0=E_{c,\max}\Rightarrow V_0=\dfrac{3{,}18\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}99\ \text{V}$

La longitud de onda umbral es la mayor que todavía consigue arrancar electrones, aquella cuyo fotón tiene justamente la energía del trabajo de extracción:

$W_0=h\dfrac{c}{\lambda_0}\Rightarrow \lambda_0=\dfrac{h\,c}{W_0}=\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{6{,}72\cdot10^{-19}}$

$\lambda_0=2{,}95\cdot10^{-7}\ \text{m}=295\ \text{nm}$

Los electrones salen con una energía cinética máxima de $3{,}18\cdot10^{-19}\ \text{J}$, el potencial de frenado es de $1{,}99\ \text{V}$ y la longitud de onda umbral del aluminio, $295\ \text{nm}$. La radiación incidente, de 200 nm, es más corta que la umbral, que es justo la condición para que haya emisión.