Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Extremadura · 2024

Con una lente delgada biconvexa de 3 dioptrías se forma una imagen real, invertida y de tamaño doble que el objeto correspondiente, que es de 2 cm de altura.

a) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y calcula la distancia a la que está el objeto y la distancia a la que se forma la imagen. [1 punto]

b) Si el objeto se coloca ahora a 10 cm de la lente, justifica mediante el diagrama de rayos correspondiente cuáles serán las características de la imagen formada y calcula su tamaño y su posición. [1 punto]

$\textbf{a) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y calcula la distancia a la que está el objeto y la distancia a la que se forma la imagen. [1 punto]}$



La distancia focal imagen es la inversa de la potencia de la lente:

$f'=\dfrac1P=\dfrac13=0{,}333\ \text{m}=33{,}3\ \text{cm}$

Que la imagen sea real e invertida quiere decir que el aumento lateral es negativo, y que sea de tamaño doble, que su valor absoluto es 2:

$\beta=\dfrac{s'}{s}=-2\Rightarrow s'=-2s$

Se lleva esta condición a la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac1{s'}-\dfrac1{s}=\dfrac1{f'}$

$\dfrac1{-2s}-\dfrac1{s}=\dfrac{1}{33{,}3}$

$-\dfrac{3}{2s}=\dfrac{1}{33{,}3}\Rightarrow s=-\dfrac{3\cdot33{,}3}{2}=-50\ \text{cm}$

Y con ello:

$s'=-2\cdot(-50)=100\ \text{cm}$

El objeto está a $50\ \text{cm}$ delante de la lente y la imagen se forma a $100\ \text{cm}$ detrás de ella. Como se ve en el diagrama, el objeto se encuentra fuera de la distancia focal, que es lo que hace que la imagen sea real e invertida.

$\textbf{b) Si el objeto se coloca ahora a 10 cm de la lente, justifica mediante el diagrama de rayos correspondiente cuáles serán las características de la imagen formada y calcula su tamaño y su posición. [1 punto]}$



Ahora el objeto está a $s=-10\ \text{cm}$, es decir, entre el foco objeto y la lente. En el diagrama se ve que los rayos emergentes son divergentes y no llegan a cortarse: quienes se cortan son sus prolongaciones, con lo que la imagen es virtual, derecha y mayor.

Se calcula su posición con la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac1{s'}=\dfrac1{f'}+\dfrac1{s}=\dfrac{1}{33{,}3}+\dfrac{1}{-10}$

$\dfrac1{s'}=0{,}03-0{,}1=-0{,}07\ \text{cm}^{-1}$

$s'=-14{,}3\ \text{cm}$

El aumento lateral vale:

$\beta=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-14{,}3}{-10}=1{,}43$

Y el tamaño de la imagen:

$y'=\beta\,y=1{,}43\cdot2=2{,}86\ \text{cm}$

La imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto: se forma a $14{,}3\ \text{cm}$ delante de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $2{,}86\ \text{cm}$. La lente está funcionando como una lupa.