Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2024

Un altavoz emite una onda sonora que, a 10 m de distancia, tiene una intensidad de $2 \cdot 10^{-7}\ \text{W/cm}^2$. Considerando el frente de ondas esférico, determina:

a) El nivel de intensidad sonora que percibe una persona situada a dicha distancia del altavoz. [0,5 puntos]

b) La energía emitida por el altavoz en medio minuto. [0,5 puntos]

c) La intensidad del sonido a una distancia de 20 m del altavoz. [0,5 puntos]

d) La amplitud de la vibración a 20 m del altavoz, si a 10 m es de 2 mm. [0,5 puntos]

$\textbf{a) El nivel de intensidad sonora que percibe una persona situada a dicha distancia del altavoz. [0,5 puntos]}$

Antes de nada se expresa la intensidad en unidades del Sistema Internacional. Como $1\ \text{m}^2=10^{4}\ \text{cm}^2$:

$I_1=2\cdot10^{-7}\ \dfrac{\text{W}}{\text{cm}^2}\cdot\dfrac{10^{4}\ \text{cm}^2}{1\ \text{m}^2}=2\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^2$

El nivel de intensidad sonora se define respecto de la intensidad umbral de audición, $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}=10\log\dfrac{2\cdot10^{-3}}{10^{-12}}=10\log(2\cdot10^{9})$

$\beta=93{,}0\ \text{dB}$

La persona percibe un nivel de $93{,}0\ \text{dB}$.

$\textbf{b) La energía emitida por el altavoz en medio minuto. [0,5 puntos]}$










Como el frente de ondas es esférico, toda la potencia del altavoz atraviesa una esfera de radio $r$ centrada en él:

$I=\dfrac{P}{4\pi r^2}\Rightarrow P=I\,4\pi r^2$





$P=2\cdot10^{-3}\cdot4\pi\cdot10^2=2{,}51\ \text{W}$

La energía emitida en medio minuto, es decir, en 30 segundos, es:

$E=P\,t=2{,}51\cdot30=75{,}4\ \text{J}$

El altavoz emite $75{,}4\ \text{J}$ en medio minuto.

$\textbf{c) La intensidad del sonido a una distancia de 20 m del altavoz. [0,5 puntos]}$

La potencia emitida es la misma, pero se reparte sobre una esfera de radio doble y por tanto de superficie cuatro veces mayor:

$\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}=\left(\dfrac{10}{20}\right)^2=\dfrac14$

$I_2=\dfrac{2\cdot10^{-3}}{4}=5\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^2$

Al doblar la distancia la intensidad se reduce a la cuarta parte, $5\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^2$.

$\textbf{d) La amplitud de la vibración a 20 m del altavoz, si a 10 m es de 2 mm. [0,5 puntos]}$

La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:

$\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{A_2^2}{A_1^2}$

Como la intensidad se ha reducido a la cuarta parte:

$\dfrac{A_2^2}{A_1^2}=\dfrac14\Rightarrow \dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac12$

$A_2=\dfrac{2}{2}=1\ \text{mm}$

La amplitud a 20 m es de $1\ \text{mm}$: al contrario que la intensidad, la amplitud de una onda esférica disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia.