Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2024

Por una cuerda se propaga una onda cuya función matemática, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t) = 0{,}1 \sin\left[ 2\pi (5x - 3t) \right]$

a) Determina: el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de dicha onda. [1,2 puntos]

b) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en $x = 0$ a los 0,25 segundos. [0,4 puntos]

c) Halla la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,4 puntos]

$\textbf{a) Determina: el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de dicha onda. [1,2 puntos]}$

Se desarrolla el paréntesis de la función de onda para poder compararla con la forma general:

$y(x,t)=0{,}1\sin\left[2\pi(5x-3t)\right]=0{,}1\sin(10\pi x-6\pi t)$



La forma general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ es:

$y(x,t)=A\sin(\omega t-kx)$

Y en el sentido negativo, $y=A\sin(\omega t+kx)$. Aquí la fase es $10\pi x-6\pi t$, que salvo el signo global coincide con la primera.

Para verlo con seguridad basta seguir un punto de fase constante:

$5x-3t=\text{cte}\Rightarrow x=\dfrac{3}{5}\,t+\text{cte}$

Al avanzar el tiempo, ese punto se desplaza hacia valores crecientes de $x$: la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$.

Identificando ahora los parámetros:

$A=0{,}1\ \text{m}$

$k=10\pi\ \text{rad/m}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{10\pi}=0{,}2\ \text{m}$

$\omega=6\pi\ \text{rad/s}\Rightarrow f=\dfrac{\omega}{2\pi}=3\ \text{Hz}$

$T=\dfrac1f=\dfrac13=0{,}33\ \text{s}$

$v=\lambda\,f=0{,}2\cdot3=0{,}6\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ a los 0,25 segundos. [0,4 puntos]}$

Se sustituyen la posición y el instante en la función de onda:

$y(0;0{,}25)=0{,}1\sin\left[2\pi(5\cdot0-3\cdot0{,}25)\right]=0{,}1\sin(-1{,}5\pi)$

$\sin(-1{,}5\pi)=1$

$y(0;0{,}25)=0{,}1\ \text{m}$

La elongación de ese punto es $0{,}1\ \text{m}$, justamente la amplitud: en ese instante el punto está en su máxima separación de la posición de equilibrio.

$\textbf{c) Halla la velocidad transversal de dicho punto en ese instante. [0,4 puntos]}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con la posición fija:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=0{,}1\cdot(-6\pi)\cos\left[2\pi(5x-3t)\right]$

$v_y(0;0{,}25)=-0{,}6\pi\cos(-1{,}5\pi)$

$\cos(-1{,}5\pi)=0$

$v_y(0;0{,}25)=0\ \text{m/s}$

La velocidad transversal es nula. Era de esperar: el punto se encuentra en el extremo de su oscilación, donde invierte el sentido del movimiento, igual que ocurre en un movimiento armónico simple.