Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Los hilos rectilíneos e infinitos de la figura están separados una distancia $a = 50\ \text{cm}$ y recorridos por sendas corrientes estacionarias iguales, $I = 2\ \text{mA}$, como se muestra.

a) Calcula el campo magnético (con carácter vectorial) en el punto $P$ de la figura, situado en el plano formado por ambos hilos, siendo $b = 20\ \text{cm}$. Expresa el resultado en tesla (T). Valor de la permeabilidad magnética del vacío: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{H/m}$. [1,5 puntos]

b) ¿Hay algún punto del eje $X$ en el que se anule el campo magnético debido a esas corrientes? Razona la respuesta. [0,25 puntos]

c) Si la corriente de uno de los hilos cambiara de sentido, manteniendo su valor, ¿se anularía el campo magnético en algún punto del eje $X$? Razona la respuesta. [0,25 puntos]

$\textbf{a) Calcula el campo magnético (con carácter vectorial) en el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ de la figura, situado en el plano formado por ambos hilos, siendo } \boldsymbol{b = 20\ \text{cm}}\textbf{. Expresa el resultado en tesla (T). [1,5 puntos]}$










Las dos corrientes circulan hacia arriba, en el sentido positivo del eje $Y$, y el punto $P$ está a la derecha de ambas. Por la regla de la mano derecha, los dos campos entran en el plano del papel:

$\vec B_1=-B_1\,\vec k\qquad \vec B_2=-B_2\,\vec k$

Al tener el mismo sentido, sus módulos se suman.





El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ es, por la ley de Biot y Savart:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$

Se expresan las distancias en unidades del Sistema Internacional. El hilo de la izquierda está a:

$r_1=a+b=50+20=70\ \text{cm}=0{,}70\ \text{m}$

$B_1=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2\cdot10^{-3}}{2\pi\cdot0{,}70}=5{,}71\cdot10^{-10}\ \text{T}$

Y el hilo de la derecha a:

$r_2=b=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}$

$B_2=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2\cdot10^{-3}}{2\pi\cdot0{,}20}=2{,}00\cdot10^{-9}\ \text{T}$

Por el principio de superposición:

$\vec B_P=\vec B_1+\vec B_2=-(5{,}71\cdot10^{-10}+2{,}00\cdot10^{-9})\,\vec k$

$\vec B_P=-2{,}57\cdot10^{-9}\,\vec k\ \text{T}$

El campo magnético en $P$ vale $2{,}57\cdot10^{-9}\ \text{T}$ y es perpendicular al plano de los hilos, entrando en él.

$\textbf{b) ¿Hay algún punto del eje } \boldsymbol{X}\textbf{ en el que se anule el campo magnético debido a esas corrientes? Razona la respuesta. [0,25 puntos]}$

Sí, y está entre los dos hilos. Fuera de ellos, a la izquierda del primero o a la derecha del segundo, los dos campos tienen el mismo sentido y su suma nunca puede ser nula. Entre los dos hilos, en cambio, los campos tienen sentidos contrarios, y se cancelan donde sus módulos coincidan:

$\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\,x}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\,(a-x)}\Rightarrow x=a-x\Rightarrow x=\dfrac{a}{2}=25\ \text{cm}$

Como las corrientes son iguales, ese punto es el punto medio del segmento que une los hilos.

$\textbf{c) Si la corriente de uno de los hilos cambiara de sentido, manteniendo su valor, ¿se anularía el campo magnético en algún punto del eje } \boldsymbol{X}\textbf{? Razona la respuesta. [0,25 puntos]}$

No. Al invertir una de las corrientes se invierten los papeles: entre los hilos los dos campos pasan a tener el mismo sentido y se suman, mientras que fuera de ellos tienen sentidos contrarios y podrían cancelarse.

Pero fuera de los hilos la cancelación exigiría que las distancias a los dos conductores fuesen iguales, cosa que solo ocurre en el punto medio, y ese punto no está fuera sino entre ellos:

$\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\,r_1}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\,r_2}\Rightarrow r_1=r_2$

Como en todo punto exterior una de las distancias supera a la otra exactamente en $a$, la igualdad es imposible y el campo no se anula en ningún punto del eje $X$.