Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Una masa de 8 kg está situada en el origen de coordenadas. Calcula, teniendo en cuenta que las distancias están expresadas en metros:

a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto de coordenadas $(2,1)$, indicando su carácter vectorial. [0,75 puntos]

b) La fuerza con que la masa de 8 kg atraería a otra masa de 2 kg. [0,25 puntos]

c) La energía potencial de dicha masa de 2 kg. [0,5 puntos]

d) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar la masa de 2 kg desde el punto de coordenadas $(2,1)$ al punto de coordenadas $(1,1)$. [0,5 puntos]

DATOS: Constante de gravitación universal: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La intensidad del campo gravitatorio en el punto de coordenadas } \boldsymbol{(2,1)}\textbf{, indicando su carácter vectorial. [0,75 puntos]}$










La distancia del origen, donde está la masa, al punto $P(2,1)$ es:

$r=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5=2{,}24\ \text{m}$

El vector unitario que va de la masa al punto es:

$\vec u_r=\dfrac{1}{\sqrt5}(2,1)$





El campo gravitatorio creado por una masa puntual es siempre atractivo, de modo que apunta del punto hacia la masa, en sentido contrario a $\vec u_r$:

$\vec g=-G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

Su módulo vale:

$g=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{8}{5}=1{,}07\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

Y en componentes:

$\vec g=-1{,}07\cdot10^{-10}\cdot\dfrac{1}{\sqrt5}(2,1)=(-9{,}55\cdot10^{-11},\,-4{,}77\cdot10^{-11})\ \text{N/kg}$

La intensidad del campo en $P$ vale $1{,}07\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$ y está dirigida de $P$ hacia el origen.

$\textbf{b) La fuerza con que la masa de 8 kg atraería a otra masa de 2 kg. [0,25 puntos]}$

La fuerza sobre una masa colocada en un punto es el producto de esa masa por la intensidad del campo en él:

$\vec F=m\,\vec g=2\cdot(-9{,}55\cdot10^{-11},\,-4{,}77\cdot10^{-11})$

$\vec F=(-1{,}91\cdot10^{-10},\,-9{,}55\cdot10^{-11})\ \text{N}$

Su módulo es:

$F=m\,g=2\cdot1{,}07\cdot10^{-10}=2{,}13\cdot10^{-10}\ \text{N}$

La fuerza vale $2{,}13\cdot10^{-10}\ \text{N}$ y es atractiva, dirigida hacia el origen.

$\textbf{c) La energía potencial de dicha masa de 2 kg. [0,5 puntos]}$

Tomando el origen de energías en el infinito:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8\cdot2}{\sqrt5}$

$E_p=-4{,}77\cdot10^{-10}\ \text{J}$

La energía potencial de la masa de 2 kg en ese punto es $-4{,}77\cdot10^{-10}\ \text{J}$. Es negativa porque el sistema está ligado.

$\textbf{d) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar la masa de 2 kg desde el punto de coordenadas } \boldsymbol{(2,1)}\textbf{ al punto de coordenadas } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Por ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo de sus fuerzas es la disminución de la energía potencial, y no depende del camino seguido:

$W=E_p(A)-E_p(B)$

La distancia del origen al punto de llegada es:

$r_B=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2=1{,}41\ \text{m}$

$E_p(B)=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8\cdot2}{\sqrt2}=-7{,}55\cdot10^{-10}\ \text{J}$

Y por tanto:

$W=-4{,}77\cdot10^{-10}-(-7{,}55\cdot10^{-10})=2{,}77\cdot10^{-10}\ \text{J}$

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es $2{,}77\cdot10^{-10}\ \text{J}$. Es positivo porque la masa se acerca al origen, es decir, se mueve en el sentido en que actúa la fuerza.