Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Extremadura · 2024

Una lente delgada biconvexa de vidrio cuyo índice de refracción es 1,5 tiene sus radios de curvatura iguales a 40 cm. Un objeto de 4 cm de altura se sitúa a 15 cm de la lente.

a) Halla la posición de la imagen. [2/3 puntos]

b) Calcula la distancia focal de la lente. [2/3 puntos]

c) Determina el tamaño de la imagen. [2/3 puntos]

$\textbf{a) Halla la posición de la imagen. [2/3 puntos]}$



Se toma el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha, el objeto está a la izquierda de la lente y por eso su abscisa es negativa.

Se empieza por la distancia focal, que hace falta para todo lo demás. Por la ecuación del constructor de lentes, con la lente en el aire:

$\dfrac1{f'}=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$

En una lente biconvexa la primera cara es convexa hacia la luz y la segunda cóncava, de modo que sus radios son $R_1=+40\ \text{cm}$ y $R_2=-40\ \text{cm}$:

$\dfrac1{f'}=(1{,}5-1)\left(\dfrac1{0{,}40}-\dfrac1{-0{,}40}\right)=0{,}5\cdot5=2{,}5\ \text{m}^{-1}$

$f'=\dfrac1{2{,}5}=0{,}40\ \text{m}=40\ \text{cm}$

Con la ecuación de las lentes delgadas, y con $s=-15\ \text{cm}$:

$\dfrac1{s'}-\dfrac1{s}=\dfrac1{f'}$

$\dfrac1{s'}=\dfrac1{f'}+\dfrac1{s}=\dfrac1{40}+\dfrac1{-15}=\dfrac{3-8}{120}=-\dfrac{5}{120}$

$s'=-\dfrac{120}{5}=-24\ \text{cm}$

La imagen se forma a $24\ \text{cm}$ de la lente, al mismo lado que el objeto. Al ser negativa la abscisa, la imagen es virtual: se ve mirando a través de la lente, pero no se puede recoger en una pantalla.

$\textbf{b) Calcula la distancia focal de la lente. [2/3 puntos]}$

Es la que se ha obtenido en el apartado anterior con la ecuación del constructor de lentes:

$f'=40\ \text{cm}=0{,}40\ \text{m}$

La potencia de la lente es la inversa de esa distancia focal medida en metros:

$P=\dfrac1{f'}=2{,}5\ \text{dioptrías}$

La distancia focal imagen es $40\ \text{cm}$, y es positiva porque la lente es convergente.

$\textbf{c) Determina el tamaño de la imagen. [2/3 puntos]}$

El aumento lateral es el cociente entre las abscisas de imagen y objeto:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-24}{-15}=1{,}6$

Y por tanto:

$y'=\beta\,y=1{,}6\cdot4=6{,}4\ \text{cm}$

La imagen mide $6{,}4\ \text{cm}$. Al ser el aumento positivo y mayor que la unidad, la imagen es derecha y mayor que el objeto: la lente funciona como una lupa, porque el objeto está entre el foco y la lente.