Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2024

La función de una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos viene dada, en el Sistema Internacional, por:

$y(x,t) = 10 \sin (0{,}4\pi x) \cos (60\pi t)$

Determina:

a) la amplitud, [0,4 puntos]

b) la longitud de onda, [0,4 puntos]

c) la frecuencia, [0,4 puntos]

d) la velocidad de propagación de las ondas componentes y [0,4 puntos]

e) la distancia entre dos nodos consecutivos. [0,4 puntos]

La función dada es la de una onda estacionaria escrita en la forma habitual:

$y(x,t)=A_{\text{est}}\sin(kx)\cos(\omega t)$

Comparándola con la del enunciado se identifican los parámetros:

$A_{\text{est}}=10\ \text{m}\qquad k=0{,}4\pi\ \text{rad/m}\qquad \omega=60\pi\ \text{rad/s}$



La onda estacionaria no se propaga: cada punto de la cuerda oscila con una amplitud que depende de su posición, entre cero en los nodos y el máximo en los vientres. Es lo que se dibuja en la figura, con la envolvente en trazo discontinuo y los nodos marcados.

$\textbf{a) la amplitud, [0,4 puntos]}$

La amplitud de oscilación de un punto situado en la abscisa $x$ es el factor que multiplica al coseno:

$A(x)=10\sin(0{,}4\pi x)\ \text{m}$

Su valor máximo, el de los vientres, es:

$A_{\max}=10\ \text{m}$

$\textbf{b) la longitud de onda, [0,4 puntos]}$

A partir del número de ondas:

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{0{,}4\pi}=5\ \text{m}$

$\textbf{c) la frecuencia, [0,4 puntos]}$

A partir de la frecuencia angular:

$\omega=2\pi f\Rightarrow f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{60\pi}{2\pi}=30\ \text{Hz}$

$\textbf{d) la velocidad de propagación de las ondas componentes y [0,4 puntos]}$

Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios. Ambas tienen la longitud de onda y la frecuencia calculadas, de modo que su velocidad de propagación es:

$v=\lambda\,f=5\cdot30=150\ \text{m/s}$

$\textbf{e) la distancia entre dos nodos consecutivos. [0,4 puntos]}$

Los nodos son los puntos que no oscilan, es decir, aquellos en los que se anula la amplitud:

$\sin(0{,}4\pi x)=0\Rightarrow 0{,}4\pi x=n\pi\Rightarrow x=\dfrac{n}{0{,}4}=2{,}5\,n\ \text{m}\quad (n=0,1,2,\dots)$

Dos nodos consecutivos están separados, por tanto:

$\Delta x=2{,}5\ \text{m}=\dfrac{\lambda}{2}$

La distancia entre dos nodos consecutivos es $2{,}5\ \text{m}$, media longitud de onda, como ocurre en toda onda estacionaria.