Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

En los vértices inferiores de un triángulo equilátero de lado $a$, se sitúan dos cargas puntuales positivas iguales de valor $q_1 = q_2 = q$. Otra carga, también positiva, de valor $Q$, se coloca en el tercer vértice del triángulo.

a) Dibuja en un esquema los vectores campo eléctrico creado por las cargas $q_1$ y $q_2$ y la fuerza electrostática sobre la carga $Q$. [1 punto]

b) Calcula dicha fuerza con módulo, dirección y sentido. Expresa el resultado en términos de $q$, $Q$, $a$ y de la constante de Coulomb, $K$. [1 punto]

$\textbf{a) Dibuja en un esquema los vectores campo eléctrico creado por las cargas } \boldsymbol{q_1}\textbf{ y } \boldsymbol{q_2}\textbf{ y la fuerza electrostática sobre la carga } \boldsymbol{Q}\textbf{. [1 punto]}$










Las tres cargas son positivas, de modo que el campo creado por cada una de las cargas de la base se aleja de ella. En el vértice superior, donde está $Q$:

$\vec E_1$ apunta desde $q_1$ hacia el vértice, prolongando el lado izquierdo del triángulo.

$\vec E_2$ apunta desde $q_2$ hacia el vértice, prolongando el lado derecho.

Los dos forman el mismo ángulo con la vertical, porque el triángulo es equilátero y $q_1=q_2$.





Al sumarlos, sus componentes horizontales son opuestas y se cancelan, y las verticales se suman: el campo total en el vértice superior es vertical y hacia arriba.

Como $Q$ es positiva, la fuerza que soporta tiene la misma dirección y sentido que ese campo total:

$\vec F=Q\,\vec E_{\text{total}}$

$\textbf{b) Calcula dicha fuerza con módulo, dirección y sentido. Expresa el resultado en términos de } \boldsymbol{q}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{, } \boldsymbol{a}\textbf{ y de la constante de Coulomb, } \boldsymbol{K}\textbf{. [1 punto]}$

Cada una de las cargas de la base está a una distancia $a$ del vértice superior, porque el triángulo es equilátero. Por la ley de Coulomb, el módulo del campo que crea cada una allí es:

$E_1=E_2=K\dfrac{q}{a^2}$

Tomando el eje $Y$ vertical, cada uno de estos campos forma $30^\circ$ con él, ya que la altura del triángulo equilátero es su bisectriz. Por el principio de superposición:

$E_{\text{total}}=E_1\cos 30^\circ+E_2\cos 30^\circ=2\,K\dfrac{q}{a^2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$

$E_{\text{total}}=\sqrt3\,K\dfrac{q}{a^2}$

Las componentes horizontales, $E_1\sin 30^\circ$ y $E_2\sin 30^\circ$, son iguales y de sentido contrario, y por eso no aparecen en la suma.

La fuerza sobre la carga $Q$ es entonces:

$F=Q\,E_{\text{total}}=\sqrt3\,K\dfrac{q\,Q}{a^2}$

La fuerza sobre $Q$ vale $\sqrt3\,K\,q\,Q/a^2$, tiene la dirección de la altura del triángulo y el sentido que se aleja de la base, es decir, es una fuerza repulsiva que empuja a $Q$ hacia arriba.