Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Una sonda espacial de 1000 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra, con velocidad constante en módulo, a una altura sobre su superficie igual al radio de la Tierra.

a) Calcula la energía cinética y la energía potencial gravitatoria de dicha sonda en esa órbita. [1 punto]

b) ¿Cuál sería la energía necesaria para transferir la sonda a otra órbita, también circular, situada a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra? [1 punto]

DATOS: Constante de gravitación universal: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$. Masa de la Tierra: $M = 5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$. Radio de la Tierra: $R = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcula la energía cinética y la energía potencial gravitatoria de dicha sonda en esa órbita. [1 punto]}$










Como la altura sobre la superficie es igual al radio terrestre, el radio de la órbita es:

$r=R+h=R+R=2R$

$r=2\cdot6{,}370\cdot10^{6}=1{,}274\cdot10^{7}\ \text{m}$

La única fuerza sobre la sonda es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$





De donde se obtiene la energía cinética:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^2=\dfrac{G\,M\,m}{2r}$

$E_c=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot1000}{2\cdot1{,}274\cdot10^{7}}=1{,}56\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria a esa distancia del centro de la Tierra es:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot1000}{1{,}274\cdot10^{7}}=-3{,}13\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía cinética de la sonda es $1{,}56\cdot10^{10}\ \text{J}$ y su energía potencial $-3{,}13\cdot10^{10}\ \text{J}$, la mitad de aquella cambiada de signo, como corresponde a toda órbita circular.

$\textbf{b) ¿Cuál sería la energía necesaria para transferir la sonda a otra órbita, también circular, situada a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra? [1 punto]}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la suma de las dos anteriores:

$E=E_c+E_p=\dfrac{G\,M\,m}{2r}-\dfrac{G\,M\,m}{r}=-\dfrac{G\,M\,m}{2r}$

En la órbita de partida, con $r_1=2R$:

$E_1=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot1000}{2\cdot1{,}274\cdot10^{7}}=-1{,}56\cdot10^{10}\ \text{J}$

En la órbita de llegada la altura es $h=3R$, con lo que $r_2=R+3R=4R=2{,}548\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$E_2=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot1000}{2\cdot2{,}548\cdot10^{7}}=-7{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía que hay que comunicar a la sonda es la diferencia entre las dos energías mecánicas:

$\Delta E=E_2-E_1=-7{,}82\cdot10^{9}-(-1{,}56\cdot10^{10})=7{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$

Hay que aportar $7{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$ para llevar la sonda a la órbita más alta. El signo positivo indica que es energía que se entrega a la sonda: al alejarse queda menos ligada a la Tierra, aunque su velocidad orbital sea menor.