Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se realiza un estudio sobre el precio del pan en distintas tiendas, variable que se supone con distribución normal de desviación típica 20 céntimos.

Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 95 % para la media de dicha variable, ¿cuántas tiendas tenemos que visitar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de 10 céntimos? Justifique la respuesta. [2 puntos]

La longitud del intervalo de confianza para la media es el doble del error máximo admisible, así que la condición del enunciado se traduce en una ecuación de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Longitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.



Con $\sigma=20$ céntimos se impone que la longitud sea de 10 céntimos.

$2\cdot 1{,}96\cdot\dfrac{20}{\sqrt{n}}=10 \Rightarrow \sqrt{n}=\dfrac{2\cdot 1{,}96\cdot 20}{10}=7{,}84$

$n=7{,}84^2=61{,}47$

Como el número de tiendas debe ser entero y la longitud no puede pasar de 10 céntimos, se toma el primer entero que supera ese valor.

Hay que visitar como mínimo 62 tiendas para que el intervalo de confianza al 95 % tenga una longitud de 10 céntimos.