Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Una marca de dulces realiza un control de calidad de sus productos, considerando el diámetro (en cm) de las galletas que produce. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica 2 cm. Se eligen al azar 100 de las galletas producidas en la fábrica, obteniéndose un diámetro medio de 8 cm.

Calcule, justificando la respuesta, el intervalo de confianza al 95 % para el diámetro medio de las galletas producidas por dicha marca. [2 puntos]

El diámetro de las galletas sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=2$ cm. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=8$ cm. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{100}}=\dfrac{2}{10}=0{,}2$

$E=1{,}96\cdot 0{,}2=0{,}392$

$(8-0{,}392\ ,\ 8+0{,}392)=(7{,}608\ ,\ 8{,}392)$

Con un nivel de confianza del 95 %, el diámetro medio de las galletas producidas por esa marca está entre $7{,}608$ y $8{,}392$ centímetros.