Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En Portugal, el 40 % del café consumido es de marca Delta, el 50 % de marca Sical y el 10 % restante se lo reparten otras marcas. Delta utiliza la variedad arábica para el 70 % de sus envases y la variedad robusta para el 30 % restante. Sical utiliza la variedad arábica en el 40 % de sus envases y la robusta en el 60 %. Las otras marcas de café utilizan ambas variedades en el 50 % de sus envases. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule la probabilidad de que un envase de café comprado en Portugal sea Sical y de variedad arábica. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que en un envase de café portugués se haya utilizado la variedad robusta. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$D\equiv$ el envase es de la marca Delta,
$S\equiv$ el envase es de la marca Sical,
$O\equiv$ el envase es de otra marca,
$R\equiv$ el café es de la variedad robusta.

Las tres marcas forman un sistema completo de sucesos.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un envase de café comprado en Portugal sea Sical y de variedad arábica. [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol.

$P(S\cap\overline{R})=P(S)\cdot P(\overline{R}/S)=0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}2$

La probabilidad de que el envase sea de marca Sical y de variedad arábica es $0{,}2$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que en un envase de café portugués se haya utilizado la variedad robusta. [1 punto]}$

Como las tres marcas forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en la variedad robusta.

$P(R)=P(D)\cdot P(R/D)+P(S)\cdot P(R/S)+P(O)\cdot P(R/O)$

$P(R)=0{,}4\cdot 0{,}3+0{,}5\cdot 0{,}6+0{,}1\cdot 0{,}5$

$P(R)=0{,}12+0{,}3+0{,}05=0{,}47$

La probabilidad de que en un envase de café portugués se haya utilizado la variedad robusta es $0{,}47$.