Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Se pide, justificando las respuestas:

a) Halle el área encerrada por la función $f(x) = x^2 + 3x + 2$ y el eje OX entre $x = 1$ y $x = 3$. [1 punto]

b) Calcule las asíntotas de la función $g(x) = \dfrac{-2x^2 + 3}{2(x^2 + 3x + 2)}$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle el área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x)=x^2+3x+2}\textbf{ y el eje OX entre } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y } \boldsymbol{x=3}\textbf{. [1 punto]}$

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambiaría el signo de la función.

$f(x)=0 \Rightarrow x^2+3x+2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3\pm 1}{2}$

$\begin{cases} x=-1\\ x=-2 \end{cases}$

Ninguno de los dos cortes pertenece al intervalo $[1,3]$, de modo que la función mantiene el signo en todo él. Se comprueba en un punto cualquiera.

$f(2)=4+6+2=12>0$



Al ser la función positiva en todo el intervalo, el área coincide con la integral definida. Calculamos primero una primitiva.

$\int(x^2+3x+2)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+2x$

Aplicando la regla de Barrow:

$S=\int_{1}^{3}(x^2+3x+2)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+2x\right]_{1}^{3}$

$=\left(9+\dfrac{27}{2}+6\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+2\right) =\dfrac{57}{2}-\dfrac{23}{6}$

$S=\dfrac{171-23}{6}=\dfrac{148}{6}=\dfrac{74}{3}\approx 24{,}67$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=1$ y $x=3$ es de $\dfrac{74}{3}$ unidades de superficie, aproximadamente $24{,}67$.

$\textbf{b) Calcule las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x)=\dfrac{-2x^2+3}{2(x^2+3x+2)}}\textbf{. [1 punto]}$

El denominador es el doble de la función del apartado anterior, que se anula en $x=-1$ y en $x=-2$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{-2,-1\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

$\lim_{x\to -1}g(x)=\dfrac{1}{0}=\infty$

$\lim_{x\to -2}g(x)=\dfrac{-5}{0}=\infty$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=-1$ y $x=-2$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: los dos valen 2, luego el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}g(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-2x^2+3}{2x^2+6x+4} =\dfrac{-2}{2}=-1$

La recta $y=-1$ es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=-1$, y una asíntota horizontal, $y=-1$.