Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cierta levadura es utilizada en la masa del pan en una cantidad, $x$, entre 1 y 5 gramos. El crecimiento de la masa en el horno, $F(x)$ (en cm), viene determinado por la cantidad de levadura de acuerdo a la función

$F(x) = \begin{cases} Bx + 2A & \text{si } 1 \le x < 3 \\ x^2 + Ax - B & \text{si } 3 \le x \le 5 \end{cases}$

Se sabe que con 2 gramos de levadura la masa experimenta un crecimiento de 2 cm y que la función es continua.

Determine las constantes $A$ y $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $x=3$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la da el crecimiento con 2 gramos de levadura.

$\lim_{x\to 3^-}F(x)=\lim_{x\to 3^-}(Bx+2A)=3B+2A$

$\lim_{x\to 3^+}F(x)=\lim_{x\to 3^+}(x^2+Ax-B)=9+3A-B=F(3)$

Para que $F(x)$ sea continua en $x=3$ los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$3B+2A=9+3A-B \Rightarrow -A+4B=9$

El valor $x=2$ pertenece al primer tramo, porque $1\leq 2<3$, y allí la masa crece 2 cm.

$F(2)=2B+2A=2 \Rightarrow A+B=1$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\begin{cases} -A+4B=9\\ A+B=1 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones se elimina $A$:

$5B=10 \Rightarrow B=2 \Rightarrow A=1-B=-1$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $x=3$: $3\cdot 2+2(-1)=4$ y $9-3-2=4$. En $x=2$: $2\cdot 2+2(-1)=2$ cm.

Las constantes buscadas son $A=-1$ y $B=2$.