Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Durante el estudio de medida del ruido $R$, expresado en decibelios, en un punto de una determinada ciudad se ha comprobado que varía con el tiempo, $t$, expresado en horas de acuerdo con la función

$R(t) = t^3 - 12t^2 + 36t + 60, \qquad (1 \le t \le 7)$

Determine, justificando las respuestas, en qué momentos se producen los valores máximo y mínimo de ruido. Calcule dichos valores máximo y mínimo. [2 puntos]

El ruido está definido en el intervalo cerrado $[1,7]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$R'(t)=3t^2-24t+36$

$R'(t)=0 \Rightarrow 3(t^2-8t+12)=0 \Rightarrow t=\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\dfrac{8\pm 4}{2}$

$\begin{cases} t=2\\ t=6 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo de estudio. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$R'(1)=3-24+36=15>0 \qquad R'(4)=48-96+36=-12<0 \qquad R'(7)=147-168+36=15>0$



El ruido crece en $(1,2)$, decrece en $(2,6)$ y vuelve a crecer en $(6,7)$: hay un máximo relativo a las 2 horas y un mínimo relativo a las 6. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$R(1)=1-12+36+60=85\ \text{decibelios}$

$R(2)=8-48+72+60=92\ \text{decibelios}$

$R(6)=216-432+216+60=60\ \text{decibelios}$

$R(7)=343-588+252+60=67\ \text{decibelios}$

El ruido máximo es de 92 decibelios y se produce a las 2 horas; el ruido mínimo es de 60 decibelios y se produce a las 6 horas.