Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una tienda de artesanía de calzado fabrica zapatos y botas. Cada par de zapatos requiere 1 hora de trabajo y $0{,}5\ \text{m}^2$ de piel y cada par de botas 1 hora de trabajo y $1\ \text{m}^2$ de piel, siendo el beneficio obtenido de 70 euros por cada par de zapatos y de 80 euros por cada par de botas.

Si solo dispone de 50 horas de trabajo y de $35\ \text{m}^2$ de piel, ¿cuántos pares de zapatos y de botas hay que fabricar para obtener los máximos beneficios? ¿Cuáles serán dichos beneficios máximos? Justifique las respuestas. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de pares de zapatos e $y$ al número de pares de botas.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Piel (m}^2\text{)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Zapatos	$x$	$0{,}5x$	$70x$ Botas	$y$	$y$	$80y$ Totales	$x+y$	$0{,}5x+y$	$70x+80y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=70x+80y$

Las restricciones son las horas de trabajo, la piel disponible y que las cantidades no pueden ser negativas.

$\begin{cases} x+y\leq 50\\ 0{,}5x+y\leq 35\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\0{,}5x+y=35\end{cases} \Rightarrow A(0,35)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+y=50\\0{,}5x+y=35\end{cases} \Rightarrow 0{,}5x=15 \Rightarrow x=30,\ y=20 \Rightarrow B(30,20)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=50\\y=0\end{cases} \Rightarrow C(50,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,35)=80\cdot 35=2800\ \text{euros}$

$B(30,20)=70\cdot 30+80\cdot 20=2100+1600=3700\ \text{euros}$

$B(50,0)=70\cdot 50=3500\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(30,20)$.

La tienda debe fabricar 30 pares de zapatos y 20 pares de botas, con lo que obtiene un beneficio máximo de 3700 euros.