Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una tienda de productos agrícolas dispone de 300 kg de abono de nitrógeno y de 80 kg de abono de potasio para la fabricación de dos compuestos A y B. Cada envase del compuesto A contiene 3 kg de abono de nitrógeno y 1 kg de abono de potasio y cada envase del compuesto B contiene 6 kg de abono de nitrógeno y 1 kg de abono de potasio.

Si el beneficio producido por cada envase del compuesto A es de 100 euros y el del envase del compuesto B de 120 euros, ¿cuántos envases de cada tipo debe fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio máximo? Justifique las respuestas. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de envases del compuesto A e $y$ al número de envases del compuesto B.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Nitrógeno (kg)}$	$\text{Potasio (kg)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Compuesto A	$3x$	$x$	$100x$ Compuesto B	$6y$	$y$	$120y$ Totales	$3x+6y$	$x+y$	$100x+120y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=100x+120y$

Las restricciones son las existencias de cada abono y que el número de envases no puede ser negativo.

$\begin{cases} 3x+6y\leq 300\\ x+y\leq 80\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\3x+6y=300\end{cases} \Rightarrow 6y=300 \Rightarrow A(0,50)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}3x+6y=300\\x+y=80\end{cases} \Rightarrow 3x+6(80-x)=300 \Rightarrow -3x=-180 \Rightarrow x=60,\ y=20 \Rightarrow B(60,20)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=80\\y=0\end{cases} \Rightarrow C(80,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,50)=120\cdot 50=6000\ \text{euros}$

$B(60,20)=100\cdot 60+120\cdot 20=6000+2400=8400\ \text{euros}$

$B(80,0)=100\cdot 80=8000\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(60,20)$.

La tienda debe fabricar 60 envases del compuesto A y 20 del compuesto B, con lo que obtiene un beneficio máximo de 8400 euros.