Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se pretende realizar un estudio sobre la renta mensual de las familias. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica 400 euros.

Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 95 % para la media de dicha variable, ¿cuántas familias tenemos que seleccionar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de 160 euros? Justifique la respuesta. [2 puntos]

La longitud del intervalo de confianza para la media es el doble del error máximo admisible, así que la condición del enunciado se traduce en una ecuación de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Longitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.



Con $\sigma=400$ euros se impone que la longitud sea de 160 euros.

$2\cdot 1{,}96\cdot\dfrac{400}{\sqrt{n}}=160 \Rightarrow \sqrt{n}=\dfrac{2\cdot 1{,}96\cdot 400}{160}=9{,}8$

$n=9{,}8^2=96{,}04$

Como el número de familias debe ser entero y la longitud no puede pasar de 160 euros, se toma el primer entero que supera ese valor.

Hay que seleccionar como mínimo 97 familias para que el intervalo de confianza al 95 % tenga una longitud de 160 euros.