Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Una biblioteca cuenta con 1.000 socios, de los cuales 350 son jóvenes, 400 adultos y 250 mayores. Encuestados sobre la puesta en marcha de un nuevo servicio, se muestran favorables 210 jóvenes, 300 adultos y 125 mayores. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule la probabilidad de que un adulto sea contrario a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un socio elegido al azar sea favorable a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$J\equiv$ el socio es joven,
$A\equiv$ el socio es adulto,
$M\equiv$ el socio es mayor,
$F\equiv$ el socio es favorable al nuevo servicio.

Ordenamos los recuentos del enunciado en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Favorables}$	$\text{Contrarios}$	$\text{Total}$ Jóvenes	210	140	350 Adultos	300	100	400 Mayores	125	125	250 Total	635	365	1000

Los tres grupos de edad forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades condicionadas salen de dividir cada fila por su total: $210/350=0{,}6$, $300/400=0{,}75$ y $125/250=0{,}5$.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un adulto sea contrario a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]}$

Se pide una probabilidad condicionada al grupo de los adultos, de modo que el espacio se reduce a los 400 socios de ese grupo, de los que 300 son favorables y los 100 restantes contrarios.

$P(\overline{F}/A)=\dfrac{P(A\cap\overline{F})}{P(A)}=\dfrac{100/1000}{400/1000}=\dfrac{100}{400}$

$P(\overline{F}/A)=0{,}25$

La probabilidad de que un adulto sea contrario a la puesta en marcha del servicio es $0{,}25$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un socio elegido al azar sea favorable a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]}$

Como los tres grupos de edad forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en un socio favorable.

$P(F)=P(J)\cdot P(F/J)+P(A)\cdot P(F/A)+P(M)\cdot P(F/M)$

$P(F)=0{,}35\cdot 0{,}6+0{,}4\cdot 0{,}75+0{,}25\cdot 0{,}5$

$P(F)=0{,}21+0{,}3+0{,}125=0{,}635$

El mismo resultado se obtiene de la última fila de la tabla: $635/1000=0{,}635$.

La probabilidad de que un socio elegido al azar sea favorable al nuevo servicio es $0{,}635$.