Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Se pide, justificando las respuestas:

a) Halle el área encerrada por la función $f(x) = x^2 + x - 2$ y el eje OX entre $x = 4$ y $x = 6$. [1 punto]

b) Calcule las asíntotas de la función $g(x) = \dfrac{-2x^2 - 1}{3(x^2 + x - 2)}$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle el área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x)=x^2+x-2}\textbf{ y el eje OX entre } \boldsymbol{x=4}\textbf{ y } \boldsymbol{x=6}\textbf{. [1 punto]}$

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambiaría el signo de la función.

$f(x)=0 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}$

$\begin{cases} x=1\\ x=-2 \end{cases}$

Ninguno de los dos cortes pertenece al intervalo $[4,6]$, de modo que la función mantiene el signo en todo él. Se comprueba en un punto cualquiera.

$f(5)=25+5-2=28>0$



Al ser la función positiva en todo el intervalo, el área coincide con la integral definida. Calculamos primero una primitiva.

$\int(x^2+x-2)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x$

Aplicando la regla de Barrow:

$S=\int_{4}^{6}(x^2+x-2)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{4}^{6}$

$=\left(\dfrac{216}{3}+\dfrac{36}{2}-12\right)-\left(\dfrac{64}{3}+\dfrac{16}{2}-8\right) =(72+18-12)-\dfrac{64}{3}$

$S=78-\dfrac{64}{3}=\dfrac{234-64}{3}=\dfrac{170}{3}\approx 56{,}67$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=4$ y $x=6$ es de $\dfrac{170}{3}$ unidades de superficie, aproximadamente $56{,}67$.

$\textbf{b) Calcule las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x)=\dfrac{-2x^2-1}{3(x^2+x-2)}}\textbf{. [1 punto]}$

El denominador es el triple de la función del apartado anterior, que se anula en $x=1$ y en $x=-2$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

$\lim_{x\to 1}g(x)=\dfrac{-3}{0}=\infty$

$\lim_{x\to -2}g(x)=\dfrac{-9}{0}=\infty$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=1$ y $x=-2$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: los dos valen 2, luego el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}g(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-2x^2-1}{3x^2+3x-6} =-\dfrac{2}{3}$

La recta $y=-\dfrac{2}{3}$ es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=-\dfrac{2}{3}$.