Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

En una piscina natural, el aumento de temperatura (en grados centígrados), $x$, ocasiona un aumento en la cantidad de algas en superficie (en kg), $F(x)$. La relación entre ambas cantidades viene dada por la función

$F(x) = \begin{cases} 2Bx + 2A & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ x^2 - 3Ax + 8B & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Se sabe que para un aumento de 4 grados centígrados, se han recogido 12 kg de algas y que la función es continua.

Determine las constantes $A$ y $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $x=3$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la dan los kilogramos recogidos con un aumento de 4 grados.

$\lim_{x\to 3^-}F(x)=\lim_{x\to 3^-}(2Bx+2A)=6B+2A=F(3)$

$\lim_{x\to 3^+}F(x)=\lim_{x\to 3^+}(x^2-3Ax+8B)=9-9A+8B$

Para que $F(x)$ sea continua en $x=3$ los dos límites laterales deben coincidir.

$6B+2A=9-9A+8B \Rightarrow 11A-2B=9$

El valor $x=4$ pertenece al segundo tramo, porque $4>3$, y allí se recogen 12 kg de algas.

$F(4)=16-12A+8B=12 \Rightarrow -12A+8B=-4 \Rightarrow 3A-2B=1$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\begin{cases} 11A-2B=9\\ 3A-2B=1 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $B$:

$8A=8 \Rightarrow A=1 \Rightarrow 2B=3A-1=2 \Rightarrow B=1$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $x=3$: $6+2=8$ y $9-9+8=8$. En $x=4$: $16-12+8=12$ kg.

Las constantes buscadas son $A=1$ y $B=1$.