Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

El gasto $G$ (en euros) por el consumo de energía eléctrica en un taller durante las 8 horas de funcionamiento varía de acuerdo con la función

$G(t) = 2t^3 - 27t^2 + 84t + 60, \qquad (0 \le t \le 8)$

donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas.

Se pide, justificando las respuestas, determinar a qué horas se producen los gastos máximo y mínimo y los valores de dichos gastos máximo y mínimo. [2 puntos]

El gasto está definido en el intervalo cerrado $[0,8]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$G'(t)=6t^2-54t+84$

$G'(t)=0 \Rightarrow 6(t^2-9t+14)=0 \Rightarrow t=\dfrac{9\pm\sqrt{81-56}}{2}=\dfrac{9\pm 5}{2}$

$\begin{cases} t=2\\ t=7 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo de funcionamiento. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$G'(1)=6-54+84=36>0 \qquad G'(4)=96-216+84=-36<0 \qquad G'(8)=384-432+84=36>0$



El gasto crece en $(0,2)$, decrece en $(2,7)$ y vuelve a crecer en $(7,8)$: hay un máximo relativo a las 2 horas y un mínimo relativo a las 7. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$G(0)=60\ \text{euros}$

$G(2)=16-108+168+60=136\ \text{euros}$

$G(7)=686-1323+588+60=11\ \text{euros}$

$G(8)=1024-1728+672+60=28\ \text{euros}$

El gasto máximo es de 136 euros y se produce a las 2 horas de funcionamiento; el gasto mínimo es de 11 euros y se produce a las 7 horas.