Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea $A$ la matriz siguiente:

$A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}$

Halle, justificando la respuesta, el valor de $x$ para el que se verifica $A^t = A^{-1}$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$ y $A^{-1}$ la matriz inversa de $A$. [2 puntos]

Se calculan por separado la traspuesta y la inversa de $A$ y después se impone que coincidan. Para que exista la inversa, el determinante no puede ser nulo.

$|A|= \begin{vmatrix}x&1\\-1&x\end{vmatrix} =x^2+1$

El determinante $x^2+1$ es siempre positivo, de modo que la matriz tiene inversa para cualquier valor de $x$.

$A^t= \begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t =\dfrac{1}{x^2+1} \begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix}$

Las dos matrices tienen los mismos elementos salvo por el factor $\dfrac{1}{x^2+1}$, así que la igualdad se cumple exactamente cuando ese factor vale 1.

$A^t=A^{-1} \Rightarrow \begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix} =\dfrac{1}{x^2+1} \begin{pmatrix}x&-1\\1&x\end{pmatrix}$

$x^2+1=1 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$

Se comprueba el resultado para $x=0$:

$A= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \qquad A^t= \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \qquad |A|=1$

$A^{-1}=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} =A^t$

El único valor que verifica $A^t=A^{-1}$ es $x=0$.