Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean $A$ y $B$ las matrices siguientes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Halle, justificando la respuesta, las matrices $X$ e $Y$ que sean solución del sistema de ecuaciones matriciales siguiente:

$\begin{cases} -2X + Y = A + B \\ 5X + Y = A - 2B \end{cases}$

[2 puntos]

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, que se resuelve como uno numérico. Calculamos primero los dos términos independientes.

$A+B= \begin{pmatrix}1&5\\0&-3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&6\\0&-4\end{pmatrix}$

$A-2B= \begin{pmatrix}1&5\\0&-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2&2\\0&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&3\\0&-1\end{pmatrix}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $Y$:

$(5X+Y)-(-2X+Y)= \begin{pmatrix}3&3\\0&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&6\\0&-4\end{pmatrix}$

$7X= \begin{pmatrix}3&-3\\0&3\end{pmatrix} \Rightarrow X=\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}3&-3\\0&3\end{pmatrix}$

Con $X$ ya conocida se obtiene $Y$ de la primera ecuación:

$Y=(A+B)+2X= \begin{pmatrix}0&6\\0&-4\end{pmatrix} + \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}6&-6\\0&6\end{pmatrix}$

$Y=\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}0&42\\0&-28\end{pmatrix} + \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}6&-6\\0&6\end{pmatrix} =\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}6&36\\0&-22\end{pmatrix}$

Se comprueba la segunda ecuación:

$5X+Y=\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}15&-15\\0&15\end{pmatrix} +\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}6&36\\0&-22\end{pmatrix} =\dfrac{1}{7} \begin{pmatrix}21&21\\0&-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&3\\0&-1\end{pmatrix}$

Las matrices buscadas son $X=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}3&-3\\0&3\end{pmatrix}$ e $Y=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}6&36\\0&-22\end{pmatrix}$.