Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un apicultor hurdano tiene 900 botes de miel y 500 botes de polen con los que elabora dos lotes A y B que pone a la venta. Cada lote A contiene 2 botes de miel y 2 botes de polen con un beneficio de 15 euros y cada lote B 3 botes de miel y 1 bote de polen con un beneficio de 12 euros.

¿Cuántos lotes de cada tipo debe organizar para que el beneficio sea máximo? Halle el valor de dicho beneficio máximo. Justifique las respuestas. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de lotes de tipo A e $y$ al número de lotes de tipo B.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Botes de miel}$	$\text{Botes de polen}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Lotes A	$2x$	$2x$	$15x$ Lotes B	$3y$	$y$	$12y$ Totales	$2x+3y$	$2x+y$	$15x+12y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=15x+12y$

Las restricciones son las existencias de miel y de polen y que el número de lotes no puede ser negativo.

$\begin{cases} 2x+3y\leq 900\\ 2x+y\leq 500\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\2x+3y=900\end{cases} \Rightarrow 3y=900 \Rightarrow A(0,300)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}2x+3y=900\\2x+y=500\end{cases} \Rightarrow 2y=400 \Rightarrow y=200,\ x=150 \Rightarrow B(150,200)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}2x+y=500\\y=0\end{cases} \Rightarrow 2x=500 \Rightarrow C(250,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,300)=12\cdot 300=3600\ \text{euros}$

$B(150,200)=15\cdot 150+12\cdot 200=2250+2400=4650\ \text{euros}$

$B(250,0)=15\cdot 250=3750\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(150,200)$.

El apicultor debe organizar 150 lotes de tipo A y 200 lotes de tipo B, con lo que obtiene un beneficio máximo de 4650 euros.