Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una factoría de automóviles tiene pedidos de 180 turismos y 140 furgonetas para la próxima temporada. Dispone para ello de dos fábricas A y B. La fábrica A produce diariamente 6 turismos y 2 furgonetas con un coste diario de 30.000 euros y la fábrica B 2 turismos y 2 furgonetas con un coste de 20.000 euros cada día.

¿Cuántos días debe abrir cada fábrica para producir el pedido de la temporada con el mínimo coste? ¿Cuál es el valor de dicho coste mínimo? Justifique las respuestas. [2 puntos]

Llamamos $x$ al número de días que abre la fábrica A e $y$ al número de días que abre la fábrica B.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Turismos}$	$\text{Furgonetas}$	$\text{Coste (euros)}$ Fábrica A	$6x$	$2x$	$30000x$ Fábrica B	$2y$	$2y$	$20000y$ Totales	$6x+2y$	$2x+2y$	$30000x+20000y$

La función objetivo, que en este caso se quiere minimizar, es el coste:

$C(x,y)=30000x+20000y$

Las restricciones son los pedidos que hay que cubrir como mínimo y que el número de días no puede ser negativo.

$\begin{cases} 6x+2y\geq 180\\ 2x+2y\geq 140\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

La región factible no está acotada, pero el mínimo se alcanza igualmente en uno de sus vértices. Las coordenadas se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\6x+2y=180\end{cases} \Rightarrow 2y=180 \Rightarrow A(0,90)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}6x+2y=180\\2x+2y=140\end{cases} \Rightarrow 4x=40 \Rightarrow x=10,\ y=60 \Rightarrow B(10,60)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}2x+2y=140\\y=0\end{cases} \Rightarrow 2x=140 \Rightarrow C(70,0)$

Valoramos la función de coste en cada uno de los vértices.

$C(0,90)=20000\cdot 90=1800000\ \text{euros}$

$C(10,60)=30000\cdot 10+20000\cdot 60=300000+1200000=1500000\ \text{euros}$

$C(70,0)=30000\cdot 70=2100000\ \text{euros}$

El menor de los tres valores se alcanza en el vértice $B(10,60)$.

La fábrica A debe abrir 10 días y la fábrica B 60 días, con lo que el coste mínimo de la temporada es de 1500000 euros.