Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Con objeto de adquirir los embalajes en una panadería, se realiza un estudio sobre la longitud de las barras de pan. Se sabe que dicha variable tiene distribución normal con desviación típica de 3 cm.

¿Cuántas barras de pan deben ser tomadas para el estudio si se desea obtener un intervalo de confianza para la longitud media de las barras, al nivel de confianza del 95 %, con una amplitud de 1 cm? Razone la respuesta. [2 puntos]

La amplitud del intervalo de confianza para la media es el doble del error máximo admisible, así que la condición del enunciado se traduce en una ecuación de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.



Con $\sigma=3$ cm se impone que la amplitud sea de 1 cm.

$2\cdot 1{,}96\cdot\dfrac{3}{\sqrt{n}}=1 \Rightarrow \sqrt{n}=2\cdot 1{,}96\cdot 3=11{,}76$

$n=11{,}76^2=138{,}30$

Como el número de barras debe ser entero y la amplitud no puede pasar de 1 cm, se toma el primer entero que supera ese valor.

Deben tomarse como mínimo 139 barras de pan para que el intervalo de confianza al 95 % tenga una amplitud de 1 cm.