Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se desea conocer la proporción de clientes que adquirirán un nuevo modelo de teléfono móvil. Para ello se realiza una encuesta a 300 potenciales clientes de los cuales 60 están interesados en dicho producto.

Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95 %, para la proporción de clientes interesados en el nuevo modelo de teléfono móvil. Razone la respuesta. [2 puntos]

Se trata de estimar una proporción a partir de una muestra grande. La proporción muestral de clientes interesados es

$\hat{p}=\dfrac{60}{300}=0{,}2$

Para muestras grandes, la proporción muestral sigue una distribución normal

$\hat{p}\sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la proporción es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\ ,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$\sqrt{\dfrac{0{,}2\cdot 0{,}8}{300}}=\sqrt{0{,}000533}=0{,}0231$

$E=1{,}96\cdot 0{,}0231=0{,}0453$

$(0{,}2-0{,}0453\ ,\ 0{,}2+0{,}0453)=(0{,}1547\ ,\ 0{,}2453)$

Con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de clientes interesados en el nuevo modelo de teléfono móvil está entre $0{,}1547$ y $0{,}2453$.