Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una fábrica de vidrios el 25 % de las botellas que se producen son grandes, el 40 % medianas y el resto pequeñas. En un control de calidad, se detecta que el 1 % de las botellas grandes, el 2 % de las medianas y el 3 % de las pequeñas son defectuosas. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea a la vez mediana y defectuosa. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$G\equiv$ la botella es grande,
$M\equiv$ la botella es mediana,
$P\equiv$ la botella es pequeña,
$D\equiv$ la botella es defectuosa.

Los tres tamaños forman un sistema completo de sucesos. Las pequeñas son el resto: $100-25-40=35$ %.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea a la vez mediana y defectuosa. [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol.

$P(M\cap D)=P(M)\cdot P(D/M)=0{,}40\cdot 0{,}02=0{,}008$

La probabilidad de que una botella sea mediana y defectuosa es $0{,}008$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa. [1 punto]}$

Como los tres tamaños forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en botella defectuosa.

$P(D)=P(G)\cdot P(D/G)+P(M)\cdot P(D/M)+P(P)\cdot P(D/P)$

$P(D)=0{,}25\cdot 0{,}01+0{,}40\cdot 0{,}02+0{,}35\cdot 0{,}03$

$P(D)=0{,}0025+0{,}008+0{,}0105=0{,}021$

La probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa es $0{,}021$, es decir, el 2,1 %.