Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

a) Determine, razonando la respuesta, el área encerrada por la función $f(x) = x^2 + 4x - 5$ y el eje OX entre $x = 0$ y $x = 2$. [1 punto]

b) Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función

$g(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 4x - 5}$

[1 punto]

$\textbf{a) Determine, razonando la respuesta, el área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x)=x^2+4x-5}\textbf{ y el eje OX entre } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=2}\textbf{. [1 punto]}$

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el de la integral.

$f(x)=0 \Rightarrow x^2+4x-5=0 \Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}$

$\begin{cases} x=1\\ x=-5 \end{cases}$

Solo $x=1$ pertenece al intervalo $[0,2]$, que queda dividido en dos tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f(0)=-5<0 \qquad f(2)=4+8-5=7>0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los dos tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int(x^2+4x-5)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+2x^2-5x$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

$\int_{0}^{1}(x^2+4x-5)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}+2x^2-5x\right]_{0}^{1} =\dfrac{1}{3}+2-5=-\dfrac{8}{3}$

$\int_{1}^{2}(x^2+4x-5)\,dx= \left[\dfrac{x^3}{3}+2x^2-5x\right]_{1}^{2} =\left(\dfrac{8}{3}+8-10\right)-\left(-\dfrac{8}{3}\right) =\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$

$S=\dfrac{8}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{18}{3}=6$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=2$ es de 6 unidades de superficie.

$\textbf{b) Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x)=\dfrac{x+1}{x^2+4x-5}}\textbf{. [1 punto]}$

El denominador es justamente la función del apartado anterior, que se anula en $x=1$ y en $x=-5$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{-5,1\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

$\lim_{x\to 1}g(x)=\dfrac{2}{0}=\infty$

$\lim_{x\to -5}g(x)=\dfrac{-4}{0}=\infty$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=1$ y $x=-5$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: el del numerador es menor, así que el límite en el infinito es cero.

$\lim_{x\to\pm\infty}g(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x^2+4x-5}=0$

La recta $y=0$, es decir, el eje $OX$, es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-5$ y $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=0$.