Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

El diámetro de cierta variedad de manzana oscila entre los 2 y los 5 cm. El precio (en céntimos de euro), $P(x)$, que se le paga al agricultor por un kilogramo de estas manzanas viene determinado por su diámetro, $x$, de acuerdo con la siguiente función:

$P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 30, \qquad 2 \le x \le 5$

Determine para qué diámetros se alcanzan los precios máximo y mínimo de las manzanas. ¿Cuáles son estos precios máximo y mínimo? Razone las respuestas. [2 puntos]

El precio está definido en el intervalo cerrado $[2,5]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$P'(x)=-6x^2+30x-24$

$P'(x)=0 \Rightarrow -6(x^2-5x+4)=0 \Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}$

$\begin{cases} x=4\\ x=1 \end{cases}$

Se descarta $x=1$ por no pertenecer al intervalo de diámetros posibles. Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro de $x=4$.

$P'(3)=-54+90-24=12>0 \qquad P'(5)=-150+150-24=-24<0$



El precio crece en $(2,4)$ y decrece en $(4,5)$, así que en $x=4$ hay un máximo relativo. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$P(2)=-16+60-48+30=26\ \text{céntimos}$

$P(4)=-128+240-96+30=46\ \text{céntimos}$

$P(5)=-250+375-120+30=35\ \text{céntimos}$

El precio máximo es de 46 céntimos por kilogramo y se alcanza con manzanas de 4 cm de diámetro; el precio mínimo es de 26 céntimos y corresponde a las manzanas de 2 cm.