Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Un determinado vino tiene un tiempo de crianza en bodega de entre 1 y 4 años. La graduación del vino, $G(x)$, en términos del tiempo de crianza, $x$, viene dada por la función

$G(x) = x^3 - Ax^2 + 6Bx + 2, \qquad 1 \le x \le 4$

Determine, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la máxima graduación se consigue exactamente a los 2 años, edad en que el vino alcanza los 22 grados. [2 puntos]

El enunciado da dos condiciones sobre la función: que su derivada se anule en $x=2$, porque allí está el máximo, y que la graduación en ese punto sea de 22 grados. Con ellas se plantea un sistema en $A$ y $B$.

$G'(x)=3x^2-2Ax+6B$

Primera condición, extremo a los 2 años:

$G'(2)=0 \Rightarrow 12-4A+6B=0 \Rightarrow 2A-3B=6$

Segunda condición, la graduación en ese punto es de 22 grados:

$G(2)=8-4A+12B+2=22 \Rightarrow -4A+12B=12 \Rightarrow -A+3B=3$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\begin{cases} 2A-3B=6\\ -A+3B=3 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones se elimina $B$:

$A=9 \Rightarrow 3B=3+A=12 \Rightarrow B=4$

La función de graduación queda entonces

$G(x)=x^3-9x^2+24x+2$

y se comprueba que cumple las dos condiciones:

$G'(x)=3x^2-18x+24=3(x-2)(x-4) \Rightarrow G'(2)=0$

$G(2)=8-36+48+2=22$

Además, la segunda derivada confirma que a los 2 años hay un máximo, como decía el enunciado.

$G''(x)=6x-18 \Rightarrow G''(2)=-6<0$

Las constantes buscadas son $A=9$ y $B=4$.