Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un taller de confección fabrica abrigos y cazadoras. Para ello dispone semanalmente de $80\ \text{m}^2$ de tela de forro y $120\ \text{m}^2$ de tela de paño. Un abrigo requiere $1\ \text{m}^2$ de tela de forro y $3\ \text{m}^2$ de tela de paño y una cazadora requiere $2\ \text{m}^2$ de cada una de las telas. Si en cada abrigo gana 80 € y en cada cazadora 70 €, calcule, justificando las respuestas:

a) El número de abrigos y de cazadoras que debe confeccionar semanalmente para hacer máximos los beneficios. [1,5 puntos]

b) El valor de dichos beneficios máximos. [0,5 puntos]

Llamamos $x$ al número de abrigos e $y$ al número de cazadoras que se confeccionan cada semana.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Forro (m}^2\text{)}$	$\text{Paño (m}^2\text{)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Abrigos	$x$	$3x$	$80x$ Cazadoras	$2y$	$2y$	$70y$ Totales	$x+2y$	$3x+2y$	$80x+70y$

$\textbf{a) El número de abrigos y de cazadoras que debe confeccionar semanalmente para hacer máximos los beneficios. [1,5 puntos]}$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=80x+70y$

Las restricciones son la tela disponible de cada clase y que las cantidades no pueden ser negativas.

$\begin{cases} x+2y\leq 80\\ 3x+2y\leq 120\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\x+2y=80\end{cases} \Rightarrow 2y=80 \Rightarrow A(0,40)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+2y=80\\3x+2y=120\end{cases} \Rightarrow 2x=40 \Rightarrow x=20,\ y=30 \Rightarrow B(20,30)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}3x+2y=120\\y=0\end{cases} \Rightarrow 3x=120 \Rightarrow C(40,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(0,40)=70\cdot 40=2800\ \text{euros}$

$B(20,30)=80\cdot 20+70\cdot 30=1600+2100=3700\ \text{euros}$

$B(40,0)=80\cdot 40=3200\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(20,30)$.

El taller debe confeccionar cada semana 20 abrigos y 30 cazadoras.



$\textbf{b) El valor de dichos beneficios máximos. [0,5 puntos]}$

El beneficio en ese vértice es el valor que ya se ha calculado.

$B(20,30)=3700\ \text{euros}$

El beneficio máximo semanal es de 3700 euros.