Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Resuelva, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - 3y + z = -1 \\ -3x + 2y - z = -2 \end{cases}$

[2 puntos]

Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelve por reducción, eliminando primero una de las variables entre dos parejas de ecuaciones.

$\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-3y+z=-1\\ -3x+2y-z=-2 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda se elimina $z$:

$(2x-3y+z)-(x+y+z)=-1-6 \Rightarrow x-4y=-7$

Sumando la primera y la tercera se elimina también $z$:

$(x+y+z)+(-3x+2y-z)=6-2 \Rightarrow -2x+3y=4$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} x-4y=-7\\ -2x+3y=4 \end{cases}$

De la primera se despeja $x=4y-7$ y se lleva a la segunda:

$-2(4y-7)+3y=4 \Rightarrow -8y+14+3y=4 \Rightarrow -5y=-10 \Rightarrow y=2$

$x=4\cdot 2-7=1 \qquad z=6-1-2=3$

Se comprueban las tres ecuaciones: $1+2+3=6$, $2-6+3=-1$ y $-3+4-3=-2$.

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=1$, $y=2$, $z=3$.