Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}$.

Halle la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $A\cdot X - B^t = 2C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial. Como está multiplicada por la izquierda por $A$, hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$.

$A\cdot X-B^t=2C \Rightarrow A\cdot X=2C+B^t$

$B^t= \begin{pmatrix}1&0&-1\\2&3&4\end{pmatrix} \qquad 2C= \begin{pmatrix}2&-2&0\\0&6&-4\end{pmatrix}$

$2C+B^t= \begin{pmatrix}2&-2&0\\0&6&-4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0&-1\\2&3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-2&-1\\2&9&0\end{pmatrix}$

La matriz $A$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$|A|= \begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix} =2-1=1\neq 0$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$

Se multiplica por la izquierda, que es el lado por el que aparece $A$ en la ecuación.

$X=A^{-1}\cdot(2C+B^t)= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&-2&-1\\2&9&0\end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 3-2&-2-9&-1-0\\ -3+4&2+18&1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-11&-1\\1&20&1\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\begin{pmatrix}3&-2&-1\\2&9&0\end{pmatrix}$, que es efectivamente $2C+B^t$.

La matriz solución de la ecuación es $X=\begin{pmatrix}1&-11&-1\\1&20&1\end{pmatrix}$.