Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

La calificación que obtienen los candidatos que se presentan a una oposición sigue una distribución normal con desviación típica 1,2 puntos.

Si se quiere realizar un estudio sobre la dificultad de las pruebas en dicha oposición, ¿cuántos candidatos deben seleccionarse para obtener un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95 %, para la calificación media que tenga una longitud de 0,5 puntos? Razone la respuesta. [2 puntos]

La longitud del intervalo de confianza para la media es el doble del error máximo admisible, así que la condición del enunciado se traduce en una ecuación de la que se despeja el tamaño de la muestra.

$\text{Longitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.



Con $\sigma=1{,}2$ puntos se impone que la longitud sea de 0,5 puntos.

$2\cdot 1{,}96\cdot\dfrac{1{,}2}{\sqrt{n}}=0{,}5 \Rightarrow 1{,}96\cdot\dfrac{1{,}2}{\sqrt{n}}=0{,}25$

$\sqrt{n}=\dfrac{1{,}96\cdot 1{,}2}{0{,}25}=\dfrac{2{,}352}{0{,}25}=9{,}408$

$n=9{,}408^2=88{,}51$

Como el número de candidatos debe ser entero y la longitud no puede pasar de 0,5, se toma el primer entero que supera ese valor.

Deben seleccionarse como mínimo 89 candidatos para que el intervalo de confianza al 95 % tenga una longitud de 0,5 puntos.