Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En un estudio sobre la práctica del deporte en la universidad, se pregunta a 150 universitarios de los cuales 120 afirman practicar algún deporte.

Calcule, razonando la respuesta, un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para la proporción de universitarios que practican deporte. Razone la respuesta. [2 puntos]

Se trata de estimar una proporción a partir de una muestra grande. La proporción muestral de universitarios que practican deporte es

$\hat{p}=\dfrac{120}{150}=0{,}8$

Para muestras grandes, la proporción muestral sigue una distribución normal

$\hat{p}\sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la proporción es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\ ,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, es decir $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}2}{150}}=\sqrt{0{,}0010667}=0{,}0327$

$E=1{,}96\cdot 0{,}0327=0{,}0640$

$(0{,}8-0{,}0640\ ,\ 0{,}8+0{,}0640)=(0{,}7360\ ,\ 0{,}8640)$

Con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de universitarios que practican algún deporte está entre $0{,}7360$ y $0{,}8640$.