Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Una empresa constructora utiliza tres tipos de piedra en un bloque de edificios: granito (50 %), mármol (40 %) y artificial (10 %). El 10 % del granito, el 5 % del mármol y el 1 % de la artificial presenta grietas por lo que no puede ser instalado. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que, al encargar una piedra, ésta presente grietas. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que una piedra, que sabemos que presenta grietas, sea de mármol. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$G\equiv$ la piedra es de granito,
$M\equiv$ la piedra es de mármol,
$A\equiv$ la piedra es artificial,
$D\equiv$ la piedra presenta grietas.

Los tres tipos de piedra forman un sistema completo de sucesos.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que, al encargar una piedra, ésta presente grietas. [1 punto]}$

Como los tres tipos de piedra forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en una piedra agrietada.

$P(D)=P(G)\cdot P(D/G)+P(M)\cdot P(D/M)+P(A)\cdot P(D/A)$

$P(D)=0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}4\cdot 0{,}05+0{,}1\cdot 0{,}01$

$P(D)=0{,}05+0{,}02+0{,}001=0{,}071$

La probabilidad de que una piedra encargada presente grietas es $0{,}071$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que una piedra, que sabemos que presenta grietas, sea de mármol. [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el efecto y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(M/D)=\dfrac{P(M)\cdot P(D/M)}{P(D)}=\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}05}{0{,}071}$

$P(M/D)=\dfrac{0{,}02}{0{,}071}=\dfrac{20}{71}\approx 0{,}2817$

Si la piedra presenta grietas, la probabilidad de que sea de mármol es $\dfrac{20}{71}\approx 0{,}2817$.