Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Las ventas de un producto (en miles de euros), $V(t)$, en los 6 primeros años desde que se lanzó al mercado, evolucionan de acuerdo con la siguiente función:

$V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100, \qquad 0 \le t \le 6$

Se pide determinar, razonando las respuestas:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la función $V(t)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. [1,5 puntos]}$

Las ventas crecen donde su derivada es positiva y decrecen donde es negativa, así que derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar el crecimiento.

$V'(t)=12t^2-48t+36$

$V'(t)=0 \Rightarrow 12(t^2-4t+3)=0 \Rightarrow t=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}$

$\begin{cases} t=1\\ t=3 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,6]$. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$V'(0)=36>0 \qquad V'(2)=48-96+36=-12<0 \qquad V'(4)=192-192+36=36>0$



Las ventas crecen durante el primer año y desde el tercero hasta el sexto, es decir, en $(0,1)\cup(3,6)$, y decrecen entre el primer y el tercer año, es decir, en $(1,3)$. Hay un máximo relativo en $t=1$ y un mínimo relativo en $t=3$.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función } \boldsymbol{V(t)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para dibujar la curva se calculan los valores en los extremos del intervalo y en los dos extremos relativos.

$V(0)=100\ \text{miles de euros}$

$V(1)=4-24+36+100=116\ \text{miles de euros}$

$V(3)=108-216+108+100=100\ \text{miles de euros}$

$V(6)=864-864+216+100=316\ \text{miles de euros}$

El producto sale al mercado con 100 mil euros de ventas, sube hasta un máximo de 116 mil el primer año, cae hasta 100 mil el tercero y crece después con fuerza hasta los 316 mil del sexto año.