Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ y & -3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad de orden 2, calcule, justificando la respuesta, los valores de $x$, $y$, $z$ para que se verifique que $A^t\cdot B = C - z\cdot I$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$. [2 puntos]

Se calculan los dos miembros de la igualdad en función de los parámetros y después se igualan elemento a elemento, lo que da un sistema de ecuaciones.

$A^t= \begin{pmatrix}1&0\\x&4\end{pmatrix}$

$A^t\cdot B= \begin{pmatrix}1&0\\x&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2&1\\y&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&1\\ -2x+4y&x-12 \end{pmatrix}$

$C-z\cdot I= \begin{pmatrix}0&1\\0&-8\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-z&1\\0&-8-z\end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales cuando lo son todos sus elementos, así que se igualan uno a uno.

$\begin{cases} -2=-z\\ 1=1\\ -2x+4y=0\\ x-12=-8-z \end{cases}$

La primera ecuación da directamente el valor de $z$; la segunda se cumple siempre.

$z=2$

Con ese valor, la cuarta ecuación da $x$:

$x-12=-8-2=-10 \Rightarrow x=2$

Y la tercera, $y$:

$-2\cdot 2+4y=0 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1$

Se comprueba el resultado:

$A^t\cdot B= \begin{pmatrix}-2&1\\0&-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&-8\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Los valores buscados son $x=2$, $y=1$ y $z=2$.