Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, se pide, justificando las respuestas:

a) Determine para qué valores de $x$ no existe la inversa de $A$. [0,5 puntos]

b) Para $x = 2$, resuelva la ecuación matricial $A\cdot X - B = C$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ no existe la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula. Como la primera fila solo tiene un elemento no nulo, conviene desarrollar por ella.

$|A|= \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&x&-1\\ 0&-1&1 \end{vmatrix} =1\cdot\begin{vmatrix}x&-1\\-1&1\end{vmatrix} =x-1$

$x-1=0 \Rightarrow x=1$

La matriz $A$ no tiene inversa únicamente para $x=1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{x=2}\textbf{, resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A\cdot X-B=C}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Se despeja la incógnita. Como está multiplicada por la izquierda por $A$, se multiplica por la izquierda por la inversa de $A$, que existe porque $x=2\neq 1$.

$A\cdot X-B=C \Rightarrow A\cdot X=B+C \Rightarrow X=A^{-1}\cdot(B+C)$

$B+C= \begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\\5&-6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\2&1\\3&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2\\-1&5\\8&-6\end{pmatrix}$

Para $x=2$ el determinante vale $2-1=1\neq 0$. Calculamos la inversa por el método de los adjuntos.

$A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&-1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix} \qquad \operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&2 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&-2\\-1&5\\8&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&-2\\ -1+8&5-6\\ -1+16&5-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2\\7&-1\\15&-7\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&5\\8&-6\end{pmatrix}$, que es efectivamente $B+C$.

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}2&-2\\7&-1\\15&-7\end{pmatrix}$.